天游8线路检测中心2023年自命题科目考试大纲（数学分析）

考试专业

数学

一、考试性质

《数学分析》课程是数学学科各专业硕士研究生入学考试必考科目之一，是由教育部授权各招生院校自行命题的选拔性考试。《数学分析》考试的目的是考察考生是否具备进行本学科各专业硕士研究生学习所要求的水平。

二、考核目标

《数学分析》试卷旨在测试考生掌握数学分析理论的基本知识与内容、分析处理和证明基本问题的方法与技巧。具体要求如下：

1．要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法。

2．要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

三、考试形式与试卷结构

1. 考试时间：考试时间为180分钟。

2. 试卷满分：本试卷满分为150分。

3. 考试形式：闭卷、笔试。

4. 试卷题型结构：计算题、证明题、解答题。

四、考试内容

第一部分 一元函数微积分

一、极限理论 函数的连续性

1. 掌握数列的极限理论, 包括极限的定义、性质等.

2. 掌握函数极限，包括定义、性质、无穷小量比较等.

3. 掌握函数的连续性与连续函数的性质, 包括连续点与间断点的分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质，一致连续性.

4. 掌握实数的完备性定理，包括确界存在原理、单调收敛定理、区间套定理、Cauchy收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理.

5. 初步掌握上、下极限概念.

二、导数与微分

1. 掌握导数与微分的概念、性质；掌握导数与微分的应用，包括函数的单调性与极值，凹凸性, 拐点，渐近线与函数作图.

2. 掌握求导法则，包括基本运算性质，复合函数求导法则，参数方程给出的函数的求导法则等.

3. 掌握微分中值定理，包括 Fermat 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理与 Taylor公式； 掌握不定型的极限计算.

三、积分

1. 理解不定积分的概念和意义，掌握包括分部积分法和换元积分法在内的积分法；掌握有理函数的积分法；熟悉三角函数有理式的积分法以及常见无理函数的积分法.

2. 理解定积分的概念及基本性质，掌握定积分的计算和应用，包括微元法和面积、弧长、曲率等的计算.

3. 熟悉反常积分理论.

四、级数

1. 掌握数项级数的收敛概念与收敛判别法，掌握正项级数的各种收敛判别法；掌握一般项级数敛散判别法.

2. 掌握函数项级数与函数项序列的性质以及一致收敛性的判别法.

3. 掌握幂级数收敛区间的概念及其确定方法、幂级数求和、函数展开成幂级数（Taylor 级数）与一些常用函数的幂级数.

4. 掌握 Fourier 级数的概念及 Fourier 级数的收敛定理以及周期函数的 Fourier 级数展开；初步了解非周期函数的 Fourier 积分.

第二部分 多元函数微积分

一、微分

1. 掌握多元函数极限的概念、性质与计算.

2. 掌握多元函数的偏导数、梯度、方向导数、微分法、微分中值定理、极值的求解等.

3. 掌握隐函数定理.

4. 了解向量值函数的微分学.

二、积分

1．掌握二、三重积分，包括积分变换等计算方法.

2．掌握第一型、第二型曲线积分, 以及它们之间的关系.

3．掌握第一型、第二型曲面积分的计算及它们之间的关系.

4．掌握 Green 公式、Gauss 公式、Stokes 公式.

5．掌握含参变量的积分理论, 包括基本性质、一致收敛性的判定、欧拉积分( 函数和函数) .

五、参考书目

1. 华东师范大学数学系，数学分析（第四版），高等教育出版社，2010.

2. 陈纪修、於崇华、金路，数学分析（第二版），高等教育出版社，2004.